给定两个命题p:对任意实数x都有ax2+ax+1>0恒成立;q:关于x的方程x2-x+a=0有负实数根;如果p或q为真命题,p且q为假命题,求实数a的取值范围.
题目
给定两个命题p:对任意实数x都有ax2+ax+1>0恒成立;q:关于x的方程x2-x+a=0有负实数根;如果p或q为真命题,p且q为假命题,求实数a的取值范围.
答案
对于命题p:当a=0,不等式ax
2+ax+1>0变为1>0,对任意实数x恒成立;
当a≠0时,对任意实数x都有ax
2+ax+1>0恒成立,必需
,
解得0<a<4;
对于命题q:关于x的方程x
2-x+a=0有负实数根,必需a<0,
∴当a<0时,命题Q为真命题.
∵p或q为真命题,p且q为假命题,
∴p与q必然一真一假.
若P真Q假,则
,解得0≤a<4若P徦Q真,则
,解得a<0∴实数a的取值范围是a<4.
对于命题p:分类讨论:当a=0,直接验证;当a≠0时,对任意实数x都有ax
2+ax+1>0恒成立,必需
,即可解得.对于命题q:关于x的方程x
2-x+a=0有负实数根,必需a<0.由于p或q为真命题,p且q为假命题,可得p与q必然一真一假.
复合命题的真假.
本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系、一元二次方程的实数根与判别式的关系、复合命题真假判断方法,考查了推理能力,属于基础题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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