【数学】已知△ABC内接于圆O:x^2+y^2=1(O为坐标原点),且3向量OA+4向量OB+5向量OC=0向量

题目

【数学】已知△ABC内接于圆O:x^2+y^2=1(O为坐标原点),且3向量OA+4向量OB+5向量OC=0向量
（1）求sin〈向量OA,向量OC〉
（2）若点A的坐标为（√2/2,√2/2）,求点C坐标.
★一定要有过程!

答案

（1）
∵△ABC内接于圆O:x^2+y^2=1
∴ |OA|=|OB|=|OC|=1
∵3向量OA+4向量OB+4向量OB=0向量
∴3向量OA+5向量OC=-4向量OB
两边平方得：
9+30向量OA●OC+25=16
∴ 30|OA||OC|cos=-18
∴cos=-3/5
∴sin=4/5
(2)设C(cosα,sinα ) ∴向量OC=(cosα,sinα )
∵（√2/2,√2/2）∴向量OA=(√2/2,√2/2)
由（1）知 向量OA●OC=-3/5
∴√2/2cosα+√2/2sinα=-3/5
∴ cosα+sinα=-3√2/5 ①
∴( cosα+sinα)²=18/25
∴ 2sinαcosα=-7/25
(cosα-sinα)²=1-2sinαcosα=32/25
∴cosα-sinα=±4√2/5 ②
由 ①②得：cosα=√2/10,sinα=-7√2/10
或 cosα=-7√2/10,sinα=√2/10
∴C(√2/10,-7√2/10)或 （-7√2/10,√2/10)