三角形ABC中,如果a+b>=2c,则有角C

题目

三角形ABC中,如果a+b>=2c,则有角C
这是一道证明题

答案

证明：
【1】在⊿ABC中,由“正弦定理”可得：
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R.
∴a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.
代入a+b≥2c,可得：sinA+sinB≥2sinC.
左边和差化积,注意A+B+C=180º,可得：
2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] ≥2sinC.
∴cos(C/2)cos[(A-B)/2] ≥sinC=2sin(C/2)cos(C/2).
∴cos[(A-B)/2] ≥2sin(C/2).
【2】不妨设a≥b.由“大边对大角”可知,A≥B.
∴0≤A-B＜180º.∴0≤(A-B)/2＜90º.
∴0＜cos[(A-B)/2] ≤1.
∴sin(C/2) ≤(1/2)cos[(A-B)/2] ≤1/2.
即sin(C/2) ≤1/2.
【3】∵0＜C＜180º.
∴0＜C/2＜90º.
∴0＜sin(C/2) ＜1.
∴结合sin(C/2) ≤1/2.可知：
0＜（C/2）≤30º
∴0＜C≤60º.