如图，三棱锥V-ABC中，VA=VB=AC=BC=2，AB=23，VC=1． （Ⅰ）证明：AB⊥VC； （Ⅱ）求三棱锥V-ABC的体积．

题目

如图，三棱锥V-ABC中，VA=VB=AC=BC=2，AB=2

3

，VC=1．

（Ⅰ）证明：AB⊥VC；
（Ⅱ）求三棱锥V-ABC的体积．

答案

证明：（Ⅰ）取AB的中点为D，连接VD，CD．
∵VA=VB，∴AB⊥VD；同理AB⊥CD．
于是AB⊥平面VDC．又VC⊂平面VDC，故AB⊥VC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AB⊥平面VDC．
由题设可知VD=CD=1，又VC=1，DB=

3

．CD=VD=

22−( 3 )2

=1，S△VDC＝

1

2

×1×

3

2

，
故三棱锥V-ABC的体积等于

1

3

S△VDC•BA=

1

3

×(

1

2

×1×

3

2

)×2

3

＝

1

2

．

（Ⅰ）通过证明直线AB⊥平面VDC，然后证明AB⊥VC；
（Ⅱ）求三棱锥V-ABC的体积．

本题考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评：本题考查直线与平面的垂直的性质定理以及棱锥体积的求法，考查逻辑思维能力与计算能力．