如图,已知△ABC,AC=BC=6,∠C=90度.O是AB的中点,⊙O与AC相切于点D、与BC相切于点E.设⊙O交OB于F,连DF并延长交CB的延长线于G. (1)∠BFG与∠BGF是否相等?为什么?
题目
如图,已知△ABC,AC=BC=6,∠C=90度.O是AB的中点,⊙O与AC相切于点D、与BC相切于点E.设⊙O交OB于F,连DF并延长交CB的延长线于G.
(1)∠BFG与∠BGF是否相等?为什么?
(2)求由DG、GE和弧ED所围成图形的面积.(阴影部分)
答案
(1)∠BFG=∠BGF;理由如下:
连OD,
∵OD=OF(⊙O的半径),
∴∠ODF=∠OFD;
∵⊙O与AC相切于点D,∴OD⊥AC;
又∵∠C=90°,即GC⊥AC,∴OD∥GC,
∴∠BGF=∠ODF;
又∵∠BFG=∠OFD,
∴∠BFG=∠BGF.
(2)连OE,
∵⊙O与AC相切于点D、与BC相切于点E,
∴DC=CE,OD⊥AC,OE⊥BC,
∵∠C=90°,
∴四边形ODCE为正方形,
∵AO=BO=
AB=
=3
,
∴OD=
BC=
×6=3,
∵∠BFG=∠BGF,
∴BG=BF=OB-OF=3
-3;
从而CG=CB+BG=3+3
;
∴S
阴影=S
△DCG-S
正方形ODCE+S
扇形ODE
=S
△DCG-(S
正方形ODCE-S
扇形ODE)
=
•3•(3+3
)-(3
2-
π•3
2)
=
+-.
(1)连接OD.根据切线的性质得到OD⊥AC,则OD∥BC;可得∠ODF=∠G,再结合对顶角相等和等边对等角得到∠BFG=∠BGF.
(2)阴影部分的面积=直角三角形CDG的面积-(正方形的面积-扇形ODE的面积).根据等腰直角三角形的性质可求出有关边AB、OD的长,以及圆心角∠DOE的度数.进而可根据扇形的面积和直角三角形的面积求得阴影部分的面积.
扇形面积的计算;切线的性质.
此题综合考查了切线的性质、平行线的性质、等腰直角三角形的性质及扇形的面积计算方法.
举一反三
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