已知函数f(x)=ax+ka-x,其中a>0且a≠1,k为常数,若f(x)在R上既是奇函数,又是减函数,则a+k的取值范围是_.
题目
已知函数f(x)=ax+ka-x,其中a>0且a≠1,k为常数,若f(x)在R上既是奇函数,又是减函数,则a+k的取值范围是______.
答案
∵f(x)在R上是奇函数,
∴f(0)=0,即f(0)=1+k,
∴k=-1;
∴f(x)=ax-a-x,
又f(x)=ax-a-x是减函数,
∴f′(x)<0,即axlna+a-xlna=(ax+a-x)lna<0,由于ax+a-x>0,
∴lna<0,
∴0<a<1.
∴a+k=a-1∈(-1,0).
故答案为:(-1,0).
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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