已知函数f(x)=lnx-a^2x^2+ax(a属于R）求（1）当a=1时,证明f(x)只有一个零点.（2）若f(x)在区间(1,+无穷

题目

已知函数f(x)=lnx-a^2x^2+ax(a属于R）求（1）当a=1时,证明f(x)只有一个零点.（2）若f(x)在区间(1,+无穷

答案

（1）a=1时
f(x)=lnx-x^2+x
定义域(0,正无穷)
求导f'(x)=1/x-2x+1=(-2x^2+x+1)/x
令g(x)=-2x^2+x+1=(-x+1)(2x+1)
根据g(x)不难看出,f(x)在(1,正无穷）上递减,在(0,1]递增
所以最大值f(1)=0-1+1=0
所以f（x）恰好有一个零点
（2）f(x)=lnx-a^2x^2+ax
定义域（0,正无穷）
求导f'(x)=1/x-2a^2x+a=(-2a^2x^2+ax+1)/x
令g(x)=-2a^2x^2+ax+1
分类讨论
当a不等于0时,g(x)为二次函数,开口恒为下,判别式=9a^2>0
所以g(x)的两个根x1=1/a x2=-1/(2a)
当a>0时,x2