高中不等式：已知正数x+2y=1,(1+2y^2)/xy的最小值为?

题目

高中不等式：已知正数x+2y=1,(1+2y^2)/xy的最小值为?

答案

x=1-2y
代入(1+2y^2)/xy=(1+2y^2)/y(1-2y)=t
则变换为关于y的方程：(2+2t)y^2-ty+1=0
注意已知条件,x,y为正数,所以t>0,上述方程就一定是二次方程（2+2t>0）
判别式大于或等于0,得到t>=4+2倍根号6(另外一个小于0的范围舍去)
验算t= 4+2倍根号6时,y=2分之根号6-1,x=3-根号6都为正数,所以最小值为4+2倍根号6
诚然,这个解法有些取巧,不过更好的方法没有想到,就这样凑合吧,如果真地接受不了,可以按照以下思路想一想：
首先这个2次方程所代表的二次函数开口向上,并且有0至1/2的根,所以判别式大于或等于0,然后讨论根的分布,根,对称轴与0,1/2的大小关系,到底是1个根在0至1/2之间还是两个根都在0至1/2之间
需要考虑的东西很多...