若函数f(x)=负1/3x^3+x在(a,10-a^2)上有最大值,则实数a的取值范围为?

题目

若函数f(x)=负1/3x^3+x在(a,10-a^2)上有最大值,则实数a的取值范围为?
最大值,不是极大值

答案

∵函数f(x)在开区间(a,10-a^2)有最大值,∴此最大值必是极大值
对函数f(x)求导得,f′（x）=－x²＋1,易求得极值点为x＝1或者x＝－1
∵当x＞1或者x＜－1时,f′（x）＜0,单调递减
当－1＜x＜1时,f′（x）＞0,单调递增
∴x＝1为极大值点,包含在(a,10-a^2)之内,∴a＜1＜10－a²①
把x＝1代入f(x)得f（1）＝－1／3＋1＝2／3
令f(x)=－1／3x³＋x＝2／3
解得x1=x2=1,x3=－2
∴a≥－2②
并且a＜10－a²③
①②③联立解得－2≤a＜1