已知复数z1=1+3i,|z2/1+2i|=√2,z1·z2为纯虚数,求复数z2

题目

已知复数z1=1+3i,|z2/1+2i|=√2,z1·z2为纯虚数,求复数z2

答案

设z2=a+bi
则z1*z2=(1+3i)*(a+bi)=(a-3b)+(3a+b)i为纯虚数
所以a-3b=0,3a+b≠0(1)
又|z2/(1+2i)|=√2
所以|z2|/|1+2i|=|z2|/√5=√2
故|z2|=√10
即a^2+b^2=10(2)
结合(1)(2)解得a=3,b=1或a=-3,b=-1
故z2=3+i或z2=-3-i
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