f（x）是定义在（-∞，3]上的减函数，不等式f（a2-sinx）≤f（a+1+cos2x）对一切x∈R均成立，求实数a的取值范围．

题目

f（x）是定义在（-∞，3]上的减函数，不等式f（a²-sinx）≤f（a+1+cos²x）对一切x∈R均成立，求实数a的取值范围．

答案

由题意可得

a2-sinx≤3 a+1+cos2x≤3 a2-sinx≥a+1+cos2x

恒成立
即

a2≤3+sinx a≤2-cos2x a2-a- 9 4 ≥-(sinx- 1 2 )2

对x∈R恒成立．
故

a2≤2 a≤1 a2-a- 9 4 ≥-(sinx- 1 2 )max2

∴-

2

≤a≤

1- 10

2

．

根据函数的单调性，将原不等式成立，转化为“

a2−sinx≤3 a+1+cos2x≤3 a2−sinx≥a+1+cos2x

成立”，
然后转化为“

a2≤3+sinx a≤2−cos2x a2−a− 9 4 ≥−(sinx− 1 2 )2

”利用最值法求解．

本题考点：其他不等式的解法．

考点点评：本题主要考查不等式恒成立问题，一般是利用函数的单调性，转化为最值问题解决．