设函数f（x）=x•ekx（k≠0）（（ekx）′=kekx） （1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）求函数f（x）的单调区间．

题目

设函数f（x）=x•e^kx（k≠0）（（e^kx）′=ke^kx）
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间．

答案

（1）f′（x）=e^kx+kxe^kx=（1+kx）e^kx（x∈R），且f′（0）=1，
∴切线斜率为1，
又f（0）=0，
∴曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为x-y=0．
（2）f′（x）=（kx+1）e^kx（x∈k），令f′（x）=0，得x=-

1

k

，
①若k＞0，当x∈（-∞，-

1

k

）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（-

1

k

，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
②若k＜0，当x∈（-∞，-

1

k

）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（-

1

k

，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
综上所述，k＞0时，f（x）的单调递减区间为（-∞，-

1

k

），单调递增区间为（-

1

k

，+∞）；
k＜0时，f（x）的单调递增区间为（-∞，-

1

k

），单调递减区间为（-

1

k

，+∞）；