求ax2+2x+1=0(a≠0)至少有一负根的充要条件.

求ax2+2x+1=0(a≠0)至少有一负根的充要条件.

题目
求ax2+2x+1=0(a≠0)至少有一负根的充要条件.
答案
证明:至少有一负根⇔方程有一正根和一负根或有两负根
△=4−4a>0
x1x2
1
a
<0
a<0
,等价于
△=4−4a≥0
2
a
<0
1
a
>0
    ⇒
0<a≤1
综上可知,原方程至少有一负根的必要条件是a<0或0<a≤1
充分性:由以上推理的可逆性,知当a<0时方程有异号两根;当0<a≤1时,方程有两负根.故a<0或0<a≤1是方程ax2+2x+1=0至少有一负根的充分条件答案:a<0或0<a≤1
至少有一负根⇔有一个负根一个正根或有两个负根,根据根的分布解出充要条件.

充要条件;一元二次方程的根的分布与系数的关系.

本题考点(1)求充要条件即寻求可解的等价条件
(2)二次函数根的分布,这一类问题要注意分析二次函数的对称轴、判别式、开口方向、关键点处的函数值四个要素.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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