设f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f（xy）=f（x）+f（y），若f（3）=1且f（a）＞f（a-1）+2，求实数a的取值范围．

题目

设f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f（xy）=f（x）+f（y），若f（3）=1且f（a）＞f（a-1）+2，求实数a的取值范围．

答案

∵f（3）=1，∴f（9）=2f（3）=2，∴f（a-1）+2=f（a-1）+f（9）=f（9a-9），
∵f（a）＞f（a-1）+2，∴f（a）＞f（9a-9）．
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，∴a＞9a-9＞0，解得1＜a＜

9

8

．
故实数a的取值范围是(1，

9

8

)．