如图,ABCD是圆内接四边形,AB为圆O直径,且AB等于4,AD等于DC等于1,求BC

题目

如图,ABCD是圆内接四边形,AB为圆O直径,且AB等于4,AD等于DC等于1,求BC
图,一个半圆,AD,CD分别位于左上角,想连形成一个钝角,好的又追加.要两种方法.

答案

解（一）：如图1,延长BC交AD的延长线于点E,连接BD.
因为AB是⊙O的直径,那么BD⊥DE,
又AD=DC,所以三角形ABE是等腰三角形.
有DE=AD=1,BE=AB=4.
又DE=CD=1,∠E是公共角,有△ABE∽△EDC
得出CE/DE=AE/AB=2/4,所以EC=1/2.
于是BC=BE-CE=4-1/2=7/2.
解（二）：如图2,连接OD、AC相交于F,
因为DE=AD,所以弧DE=弧AD,又O是圆心,
根据垂径定理可得OD垂直平分AC.
令OF=x,有AF^2=AD^2-DF^2=OA^2-AF^2
又OA=AB/2=2
于是有1-（2-x)^2=4-x^2
解这个方程得x=7/4,于是AC=√15/2.
又AB是直径,那么三角形ACD是直角三角形
根据勾股定理,有BC^2=AB^2-AC^2
                  BC=7/2