如图所示，等边△ABC的边长a=25+123，点P是△ABC内的一点，且PA2+PB2=PC2，若PC=5，求PA，PB的长．

题目

如图所示，等边△ABC的边长a=

25+12 3

，点P是△ABC内的一点，且PA²+PB²=PC²，若PC=5，求PA，PB的长．

答案

以B为中心，按60度旋转△BAP，使得A点旋转至C点，P点至Q．
∵PA²+PB²=PC²
∴△PCQ为直角三角形，∠CQP=90°．
∴∠CQB=150°．
BC²=CQ²+BQ²-2CQ•BQcos150°
=PA²+PB²-2PA•PB（-

3

2

）
=PC²+

3

PA•PB
=25+

3

PA•PB．
BC²=25+12

3

．
∴PA•PB=12，
∵PA²+PB²=25，
∴PA=3，PB=4或PA=4，PB=3．

按原题作图：以B为中心，按60度旋转△BAP，使得A点旋转至C点，P点至Q．
可以很容易证明：CQ=PA、PQ=PB，注意到PA²+PB²=PC²是直角三角形．

本题考点：等边三角形的性质；旋转的性质；解直角三角形．

考点点评：此题是一个综合性很强的题目，主要考查等边三角形的性质、旋转的特征、解直角三角形等知识．难度较大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．