如图所示,等边△ABC的边长a=25+123,点P是△ABC内的一点,且PA2+PB2=PC2,若PC=5,求PA,PB的长.

如图所示,等边△ABC的边长a=25+123,点P是△ABC内的一点,且PA2+PB2=PC2,若PC=5,求PA,PB的长.

题目
如图所示,等边△ABC的边长a=
25+12
3
,点P是△ABC内的一点,且PA2+PB2=PC2,若PC=5,求PA,PB的长.
答案
以B为中心,按60度旋转△BAP,使得A点旋转至C点,P点至Q.
∵PA2+PB2=PC2
∴△PCQ为直角三角形,∠CQP=90°.
∴∠CQB=150°.
BC2=CQ2+BQ2-2CQ•BQcos150°
=PA2+PB2-2PA•PB(-
3
2

=PC2+
3
PA•PB
=25+
3
PA•PB.
BC2=25+12
3

∴PA•PB=12,
∵PA2+PB2=25,
∴PA=3,PB=4或PA=4,PB=3.
按原题作图:以B为中心,按60度旋转△BAP,使得A点旋转至C点,P点至Q.
可以很容易证明:CQ=PA、PQ=PB,注意到PA2+PB2=PC2是直角三角形.

等边三角形的性质;旋转的性质;解直角三角形.

此题是一个综合性很强的题目,主要考查等边三角形的性质、旋转的特征、解直角三角形等知识.难度较大,有利于培养同学们钻研和探索问题的精神.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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