已知|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为60°,向量2ta+7b与a+tb的夹角为钝角,求实数t的取值范围.

题目

已知|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为60°,向量2ta+7b与a+tb的夹角为钝角,求实数t的取值范围.

答案

∵夹角是钝角,所以相乘<0
∴(2ta+7b)(a+tb)<0
2ta²+2t²ab+7ab+7tb²<0
而ab=|a||b|cos60°=1
a²=4,b²=1
∴由2ta²+2t²ab+7ab+7tb²<0
得8t+2t²+7+7t<0
即2t²+15t+7<0
(2t+1)(t+7)<0
t∈（-7,-1/2)