各项均为正数的数列﹛an﹜,满足a1=1,a的n+1次方﹣a²=2(n属于正整数）

题目

各项均为正数的数列﹛an﹜,满足a1=1,a的n+1次方﹣a²=2(n属于正整数）
①求数列﹛an﹜的通项公式②求数列﹛an²／2ⁿ﹜的前n项和Sn

答案

a的n+1次方﹣a²=2(n属于正整数）是不是
【a（n+1）】² - 【an】² =
是的话那么
an²即为首项为a1²,公差为2的等差数列,
即an² = 1 + 2（n - 1）= 2n - 1
an =根号下 （2n - 1）
an²／2ⁿ = （2n -1）/2ⁿ = 2n / 2ⁿ - 1 / 2ⁿ
记bn = 2n / 2ⁿ Tn为bn的前n项和
Tn = 2 / 2 + （2×2）/（2²） + （2×3）/(2³)…… + 2n / 2ⁿ ……①
2Tn= 2 / 1 +（2×2）/ 2 +（2×3）/（2²）+……+ 2n/2^（n-1）……②
② - ①得
Tn = 2 + 2 / 2 + 2 / 2²+……+2/2^（n-1）- 2n / 2ⁿ
=2×（1 - (1/2)ⁿ）/(1 - 1/2) - 2n / 2ⁿ
=4 ×（1- 2^(-n )） - 2n × 2^(-n)
Sn=Tn -1/2 - (1/2)² - (1/2)³ - …… - （1 / 2）ⁿ
=Tn-(1/2)×（1 - (1/2)ⁿ）/(1 - 1/2)
=Tn- （1 - 2^(-n )）
=4 ×（1- 2^(-n )） - 2n × 2^(-n)- （1 - 2^(-n )）
=3 - 3 × 2^(-n ) - 2n × 2^(-n)