已知函数f(x)=x²+1/x².（1）判断f(x)在区间(0,+∞)的单调性,并用定义证明；（2）写出函数f（x）=1/x²的单调区间.并说明理由

题目

已知函数f(x)=x²+1/x².（1）判断f(x)在区间(0,+∞)的单调性,并用定义证明；（2）写出函数f（x）=1/x²的单调区间.并说明理由

答案

（1）单调递减
设在(0,+∞）有x1,x2(x1＜x2)
f(x1)-f(x2)=(x1+x2)(x1-x2)+1/x1^2-1/x2^2=(x1^2-x2^2)(x1x2-1)/x1x2
∵x₁²-x₂²＜0,x1x2-1＜0
∴f(x1)-f(x2)＞0,f(x1)＞f(x2)
∴单调递减
（2）在（-∞,0)增,(0,+∞）减