已知关于X的一元二次方程5X²-5PX+12P-15=0的两个根均为整数,求实数P的所有可能值

题目

已知关于X的一元二次方程5X²-5PX+12P-15=0的两个根均为整数,求实数P的所有可能值

答案

设X的两个根均为a,b(a,b为整数）则（X-a)(X-b)=0
X²-(a+b)X+ab=0
由5X²-5PX+12P-15=0 得X²-PX+12P/5-3=0
那么a+b=p ab=12p/5-3
所以a+b=p p=5(ab+3)/12
又因为a,b为整数 故P也为整数
那么(ab+3)/12也为整数 即ab+3为12整数倍 设为ab+3=12m m为整数
就有ab=3(4m-1)
a+b=p=5m
因3和4m-1均为奇数 故a,b也均为奇数（奇数X奇数=奇数)
那么a+b=偶数 故得到m为偶数 设m=2n (n为整数)
所以ab=3(8n-1)
a+b=p=10n ( n为整数)
则n=1时 p=10 a=3 b=7