已知f（x）的定义域为（0，+∞），且在其定义域内为增函数，满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，试解不等式f（x）+f（x-2）＜3．

题目

已知f（x）的定义域为（0，+∞），且在其定义域内为增函数，满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，试解不等式f（x）+f（x-2）＜3．

答案

∵f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，
∴f（2×2）=f（2）+f（2）=2，
f（2×4）=f（2）+f（4）=3，由f（x）+f（x-2）＜3，又f（x）的定义域为（0，+∞），得

f[x(x−2)]＜f(8) x＞0 x−2＞0

，又在其上为增函数所以

x(x−2)＜8 x＞0 x−2＞0

解得，2＜x＜4．
所以不等式f（x）+f（x-2）＜3的解集为{x|2＜x＜4}．

由题意知f（2×2）=f（2）+f（2）=2，f（2×4）=f（2）+f（4）=3，f[x（x-2）]＜f（8），再由f（x）的定义域为（0，+∞），且在其上为增函数知x（x-2）＜8，即可解得答案．

本题考点：函数单调性的性质；抽象函数及其应用；其他不等式的解法．

考点点评：本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．