双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1 的离心率为e1,双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=-1 的离心率为e2,则e1+e2的最小值是?

题目

双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1 的离心率为e1,双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=-1 的离心率为e2,则e1+e2的最小值是?

答案

e1²=(a²+b²)/a²,
e2²=(a²+b²)/b²
∴1/e1²+1/e2²=a²/(a²+b²)+b²/(a²+b²)=1
1/e1²+1/e2²≥2/(e1e2).===>e1e2≥2.等号仅当e1=e2=√2时取得.
∴e1+e2≥2√(e1e2)≥2√2.等号仅当e1=e2=√2时取得.
∴（e1+e2)min=2√2.