已知关于x的两个方程：x2+(m+1)x+m-5=0①与mx2+(n-1)x+m-4=0②方程①有两个不等式的负实数根,方程②有两个实数根.（1）有证：方程②的两根符号相同；（2）设方程②的两根分别为

题目

已知关于x的两个方程：x2+(m+1)x+m-5=0①与mx2+(n-1)x+m-4=0②方程①有两个不等式的负实数根,方程②有两个实数根.（1）有证：方程②的两根符号相同；（2）设方程②的两根分别为α,β,若α∶β=1∶3,且n为整数,求m的最小整数值.

答案

1）、证：方程①：x1+x2=-m-1,x1x2=m-5
因为有两个不等的负实数根,则-m-10,得m>5
方程②：x3+x4=（1-n）/m,x3x4=（m-4）/m
因为m>5,所以（m-4）/m>0,所以x3x4>0,
所以方程②的两根符号相同
2）、方程②的两根分别为α,β,α∶β=1∶3,得 β=3α
则αβ=（m-4）/m,则α^2=(m-4)/3m
α+β=（1-n）/m,则α=(1-n)/4m
所以（1-n）^2/16m^2=(m-4)/3m
3(1-n)^2=16m(m-4)=16(m-2)^2-64≥0
n是整数,所以m的最小整数值是m=0