在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知向量m=（cos3A/2，sin3A/2），n=（cosA/2，sinA/2），且满足|m+n|=3．（1）求角A的大小；（2）若b+c=3a，试

题目

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知向量

m

=（cos

3A

2

，sin

3A

2

），

n

=（cos

A

2

，sin

A

2

），且满足|

m

+

n

|=

3

．
（1）求角A的大小；
（2）若b+c=

3

a，试判断△ABC的形状．

答案

（1）∵|m+n|=3，∴|m+n|2=2+2cosA=3，∴cosA=12，∴A=π3（2）∵b+c=3a，∴a2=(b+c)23，∴cosA=b2+c2-a22bc=2b2-2bc+2c26bc=12，∴2b2-5bc+2c2=0，∴b=2c，b=c2    当b=2c时，a2+c2=3c2+c2=4c2...

（1）根据所给的向量的坐标和向量模的条件，得到关于角A的三角函数关系，本题要求角A的大小，利用整理出来的三角函数值和角是三角形的内角，得到结果．
（2）本题是一个解三角形问题，应用上一问给出的结果，和b+c＝

3

a．根据正弦定理把边之间的关系变化为角之间的关系，逆用两角和的正弦公式，得到结果．

本题考点：三角形的形状判断；三角函数的恒等变换及化简求值．

考点点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．考查了学生分析问题和灵活运用所学知识的能力．