已知点P（1，4）在圆C：x2+y2+2ax-4y+b=0上，点P关于直线x+y-3=0的对称点也在圆C上，则a=_，b=_．

题目

已知点P（1，4）在圆C：x²+y²+2ax-4y+b=0上，点P关于直线x+y-3=0的对称点也在圆C上，则a=______，b=______．

答案

设点P（1，4）关于直线x+y-3=0对称点是P′（x₀，y₀），
则直线PP′的斜率k=

y0−4

x0−1

=1，①
又线段PP′的中点M（

x0+1

2

，

y0+4

2

）在直线x+y-3=0上，
∴

x0+1

2

+

y0+4

2

-3=0，②
由①②解得x₀=-1，y₀=2，
∴P′（-1，2）；
∴将两点的坐标代入圆C方程x²+y²+2ax-4y+b=0上得：

1+16+2a−16+b＝0 1+4−2a−8+b＝0

，
解得

a＝−1 b＝1

．
故答案为：-1，1．

可求得点P（1，4）关于直线x+y-3=0对称点的坐标，将两点的坐标代入圆C的方程，通过解关于a，b的方程组即可求得 a，b．

本题考点：与直线关于点、直线对称的直线方程；点与圆的位置关系．

考点点评：本题考查点关于直线对称的点的坐标，考查点与圆的位置关系，求得点P（1，4）关于直线x+y-3=0对称点是（-1，2）是关键，也是难点，属于中档题．