已知数列｛an｝满足a1=1,an=3的n-1次方+an-1（n≥2）

题目

已知数列｛an｝满足a1=1,an=3的n-1次方+an-1（n≥2）
（1）求a2,a3;
(2）求证an=(3的n次方-1）/2

答案

（1）求a2,a3;
a2=3^(2-1)+a1=3+1=4
a3=3^(3-1)+a2=9+4=13
(2）求证an=(3的n次方-1）/2
an=3的n-1次方+an-1
an-a(n-1)=3^(n-1)
=>
a2-a1=3^1
a3-a2=3^2
a4-a3=3^3
a5-a4=3^4
.
an+-n-1=3的n-1次方
以上各式相加
a2-a1+a3-a2+a4-a3+a5-a4+...+an-an-1=3+3^2+3^3+3^4+.+3^(n-1)
左边相互抵消,右边是等比数列
an-a1=3(1-3^(n-1))/(1-3)=3/2*(3^(n-1)-1)
an=1+3/2*(3^(n-1)-1)
=(3的n次方-1）/2
得证