若0＜α＜π，则(1+sinα+cosα)(sinα2−cosα2)(2+2cosα)=_．

题目

若0＜α＜π，则

(1+sinα+cosα)(sin α 2 −cos α 2 )

(2+2cosα)

=______．

答案

∵0＜α＜π，
∴0＜

α

2

＜

π

2

，
∴cos

α

2

＞0，
∴原式=

(2sin α 2 cos α 2 +2cos2 α 2 )(sin α 2 −cos α 2 )

2×2cos2 α 2

=

2cos α 2 (sin α 2 +cos α 2 )(sin α 2 −cos α 2 )

2cos α 2

=sin2

α

2

-cos2

α

2

=-cosα．
故答案为：-cosα．

利用二倍角的正弦与余弦，原式可转化为

2cos α 2 (sin α 2 +cos α 2 )(sin α 2 −cos α 2 )

2cos α 2

，再逆用二倍角的余弦即可得到最简结果．

本题考点：三角函数的化简求值．

考点点评：本题考查三角函数的化简求值，考查二倍角的正弦与余弦，属于中档题．