问道数学题(高二不等式)

题目

问道数学题(高二不等式)
设三角形三边a,b,c满足a^2+b^2=c^2
当n大于等于三时,求证：a^n+b^n小于c的n次

答案

因为是三角形 又满足a^2+b^2=c^2
所以为直角三角形
所以角c为90
用正弦定理
a/sina=b/sinb=c/sinc=r
将此式带入要求正的不等式中变为证明
sina^n+sinb^n又因为c=90
所以为证明sina^n+sinb^n<1
因为sina^2+cosa^2=1
b=90-a
sinb=sin(90-a)=cosa
将此几式带入要证明的式子中
既证
sina^n+cosa^n整理
得(sina^2-sina^n)+(cosa^2-cosa^n)>0
因为0所以0而n大于等于三
所以sina^2>sina^n,cosa^2>cosa^n
两式项加 移项 得证