已知三角形ABC三个顶点A(1,1)B(5,3)C(4,5),AB边上一点M 且向量AM=3向量MB,P为AC边

题目

已知三角形ABC三个顶点A(1,1)B(5,3)C(4,5),AB边上一点M 且向量AM=3向量MB,P为AC边
已知三角形ABC三个顶点A（1,1）B（5,3）C（4,5）,AB边上一点M 且向量AM=3向量MB,P为AC边上一点,若三角形APM面积=1/2三角形ABC,求P分向量AC所成的比

答案

解法可以用解析法列方程组解,比较麻烦.下面用几何方法解较简单.
先求三角形三边长度分别为：
AB=根号20； BC=根号5 ；AC=5
可见：AC方=AB方+BC方
则三角形ABC为直角三角形,角B=90度
三角形ABC面积=1/2*根号20*根号5=5
已知AM=3MB,则AM=AB*（3/4）=根号20*（3/4）
作MN垂直于AC 于N,因为三角形AMN与ACB相似
则 AM/AC=MN/BC
MN=AM*BC/AC=3/2
三角形APM面积=1/2*AP*NM=3/4*AP=1/2三角形ABC=5/2
所以AP=10/3
PC=AC-AP=5-10/3=5/3
即P分向量AC所成的比为 AP/PC=2/1