已知复数z1=sin2x+ti,z2=m+(m-根号3cos2x)i (i为虚数单位,t,m,x∈R）,且z1=z2.

题目

已知复数z1=sin2x+ti,z2=m+(m-根号3cos2x)i (i为虚数单位,t,m,x∈R）,且z1=z2.
⑴若t=0且0〈X〈π ,求 X的值
(2)设t=f(x),已知当x=a时,t=1/2,试求cos(4a+π/3）的值.（a—角）

答案

第一个问题：
∵z1＝z2,
∴m＝sin2x,m－√3cos2x＝t.联立两式消去m,得：sin2x－√3cos2x＝t,而t＝0,
∴2［（1/2）sin2x－（√3/2）cos2x］＝0,∴sin2xcos（π/3）－cos2xsin（π/3）＝0,
得：sin（2x－π/3）＝0.
∵0＜x＜π,∴0＜2x＜2π,∴－π/3＜2x－π/3＜2π/3,∴2x－π/3＝0,得：x＝π/6.
第二个问题：
f（x）＝t＝m－√3cos2x＝sin2x－√3cos2x.
∵f（a）＝1/2,∴sin2a－√3cos2a＝1/2,∴2［（1/2）sin2a－（√3/2）cos2a］＝1/2,
∴sin（2a－π/3）＝1/4,
而sin（2a－π/3）＝－cos［π/2＋（2a－π/3）］＝－cos（2a＋π/6）,
∴cos（2a＋π/6）＝－1/4,
得：cos（4a＋π/3）＝2［cos（2a＋π/6）］^2－1＝2×（－1/4）^2－1＝－7/8.