用有限覆盖定理证明零点定理

题目

用有限覆盖定理证明零点定理

答案

反证法：
假定连续函数f(x）有f(a)>0>f(b);(a>b),且对任意的x属于[b,a],有f(x)不为0.由f(x)的连续性,对任意的x0属于[b,a],存在邻域s(x0)使f(x)在s(x0）同号,当x0取遍[b,a]中所有值时,所有的s(x0）是[b,a]的一个开覆盖,由有限覆盖定理,存在有限个邻域
s(x1）,s(x2）,.s(xn）使它们的并集包含[b,a].
自然地这些邻域中有i,j使a属于s(xi）,b属于s(xj）,从而f(x)在这两个邻域反号；又s(xi）与s(xj）是经由上述s(x1）,s(x2）,.s(xn）中其他不反号的邻域连在一起的,从而f(x)在它们的符号相同.这是一个矛盾,故f(x)在[b,a]上有零点.