在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中点，O是底面正方形ABCD的中心．求证：OE⊥平面ACD1．

题目

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BB₁的中点，O是底面正方形ABCD的中心．求证：OE⊥平面ACD₁．

答案

证明：连接B₁D，A₁D，
∵B₁B⊥平面ABCD，
∴B₁B⊥AC，
又AC⊥BD，
∴AC⊥平面B₁DB，
∴AC⊥B₁D，
同理可证AD₁⊥B₁D，
AC∩AD₁=A，
∴B₁D⊥平面ACD₁，
∵B₁E=BE，OB=OD，
∴OE∥B₁D，
∴OE⊥平面ACD₁．