证明：若f(x)是以l为周期的周期函数,则f(ax+b)（a,b为常数,且a>0）是以l/a为周期的周期函数

题目

证明：若f(x)是以l为周期的周期函数,则f(ax+b)（a,b为常数,且a>0）是以l/a为周期的周期函数

答案

f(x)的周期为I,则根据定义有f(x+kI)=f(x),即：
若y=x+kI,则 f(y)=f(x)；
而对于函数:g(x)=f(ax+b),
当y=x+k(I/a)时,ay+b=a[x+k(I/a)]+b=ax+b+kI
g(y)=f(ay+b)=f(ax+b+kI)
而根据f(x)的周期性质又有f(ax+b+kI)=f(ax+b)=g(x)
所以有:
当 y=x+k(I/a),有 g(y)=g(x)
即g(x+k(I/a))=g(x)
所以g(x)=f(ax+b)是以I/a为周期的周期函数.