在三角形ABC中,AB=AC=5,P为BC边上的任意一点,求证AP·AP+PB·PC=25

题目

在三角形ABC中,AB=AC=5,P为BC边上的任意一点,求证AP·AP+PB·PC=25

答案

证：过A作直线AE⊥BC交BC于E点,设P点在B、E两点之间,已知AB=AC=5,则BE=CE=（PB+PC）/2,
PE=BE-PB=（PB+PC）/2-PB=（PC-PB）/2
在直角△ACE和直角△AEP中,根据勾股定理,得下方程组：
AE^2 +CE^2 =AE^2 +（PB+PC）^2 /4=AC^2=25 .(1)
AE^2 +PE^2 =AE^2 +（PC-PB）^2/4=AP^2 .(2)
(1)-(2)得
（PB+PC）^2 /4-（PC-PB）^2/4=25-AP^2
PB*PC=25-AP^2
故AP^2+PB*PC=25
即AP平方+PB*PC=25