已知函数f（x）=ln（1+x）-x+k/2x2（k≥0）．求f（x）的单调区间．

题目

已知函数f（x）=ln（1+x）-x+

k

2

答案

∵f（x）=ln（1+x）-x+

k

2

x²，x＞-1
∴f′（x）=

1

1+x

-1+kx=

kx2+(k−1)x

1+x

，
令g（x）=kx²+（k-1）x，k≥0，x＞-1
（1）当k=0时，g（x）=-x
当-1＜x＜0时，g（x）＞0，所以f′（x）＞0，函数f（x）在（-1，0）上单调递增，
当x＞0时，g（x）＜0，所以f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
（2）当k≠0时，g（x）=x[kx+（k-1）]
令g（x）=x[kx+（k-1）]=0，解得x=0，或x=

1

k

-1，
①当

1

k

-1＜0时，即k＞1时，
当

1

k

-1＜0，解得k≥0，于已知矛盾，
当

1

k

-1＜x＜0时，g（x）＜0，所以f′（x）＜0，函数f（x）在（

1

k

-1，0）上单调递减，
当x＞0时，g（x）＞0，所以f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
②当

1

k

-1＞0时，即0＜k＜1时，
当0＜x＜

1

k

-1时，g（x）＜0，所以f′（x）＜0，函数f（x）在（0，

1

k

-1）上单调递减，
当x＞

1

k

-1时，g（x）＞0，所以f′（x）＞0，函数f（x）在（

1

k

-1，+∞）上单调递增，
③当k=1时，g（x）≥0，所以f′（x）＞0，函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，