在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心,2为半径画圆O,点P是圆O在第一象限中的一个动点,过点P作圆O的切

题目

在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心,2为半径画圆O,点P是圆O在第一象限中的一个动点,过点P作圆O的切
线与X轴交于点A,与Y轴交于点B.（1）点P在运动是,线段AB的长度也在发生变化,请写出线段AB长度的最小值,并说明理由.
（2）在⊙O上是否存在一点Q,使得以Q、O、A、P为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出Q点的坐标；若不存在,请说明理由.

答案

（1）线段AB长度的最小值为4,
理由如下：
连接OP,
因为AB切⊙O于P,
所以OP⊥AB,
取AB的中点C,
则AB=2OC；
当OC=OP时,OC最短,
即AB最短,
此时AB=4；
（2）设存在符合条件的点Q,
如图①,设四边形APOQ为平行四边形；
因为∠APO=90°,
所以四边形APOQ为矩形,
又因为OP=OQ,
所以四边形APOQ为正方形,
所以OQ=QA,∠QOA=45°；
在Rt△OQA中,根据OQ=2,∠AOQ=45°,
得Q点坐标为（ 2,- 2）；
如图②,设四边形APQO为平行四边形；
因为OQ∥PA,∠APO=90°,
所以∠POQ=90°,
又因为OP=OQ,
所以∠PQO=45°,
因为PQ∥OA,
所以PQ⊥y轴；
设PQ⊥y轴于点H,
在Rt△OHQ中,根据OQ=2,∠BQO=45°,
得Q点坐标为（- 2, 2）．
所以符合条件的点Q的坐标为（ 2,- 2）或（- 2, 2）．