化为极坐标形式的二次积分：∫[0,1]dx∫[0,1]f﹙x,y﹚dy

题目

化为极坐标形式的二次积分：∫[0,1]dx∫[0,1]f﹙x,y﹚dy

答案

∫[0,1]dx∫[0,1] f(x,y) dy
=∫∫ f(x,y) dxdy 积分区域为矩形：0≤x≤1,0≤y≤1
作y=x将矩形分为两部分分别来做,
x=1对应的极坐标方程为：rcosθ=1,即r=1/cosθ
y=1对应的极坐标方程为：rsinθ=1,即r=1/sinθ
原式=∫∫ f(rcosθ,rsinθ)r drdθ
=∫ [0→π/4] dθ∫[0→1/cosθ] f(rcosθ,rsinθ)r dr+∫ [π/4→π/2] dθ∫[0→1/sinθ] f(rcosθ,rsinθ)r dr