已知椭圆E的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过A(-2,0)、B(2,0)、C(1,3/2)三点.(1)求椭圆E的方程:(2)若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点,F(-1,0),H(1,0),
题目
已知椭圆E的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过A(-2,0)、B(2,0)、
C(1,)三点.
(1)求椭圆E的方程:
(2)若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点,F(-1,0),H(1,0),当△DFH内切圆的面积最大时.求内切圆圆心的坐标.
答案
(1)设椭圆方程为mx
2+ny
2=1(m>0,n>0),
将A(-2,0)、B(2,0)、
C(1,)代入椭圆E的方程,得
解得
m=,n=.
∴椭圆E的方程
+=1(2)|FH|=2,设△DFH边上的高为h,
S△DFH=×2×h=h当点D在椭圆的上顶点时,h最大为
,所以S
△DFH的最大值为
.
设△DFH的内切圆的半径为R,因为△DFH的周长为定值6.所以
R×6=S△DFH,
所以R的最大值为
.所以内切圆 圆心的坐标为
(0,±)(1)设椭圆方程为mx
2+ny
2=1(m>0,n>0),将A(-2,0)、B(2,0)、
C(1,)代入椭圆E的方程,得到关于m,n的方程组,即可解得
m=,n=.最后写出椭圆E的方程
+=1;
(2)先设△DFH边上的高为h,由于
S△DFH=×2×h=h,得到当点D在椭圆的上顶点时,h最大为
,再设△DFH的内切圆的半径为R,因为△DFH的周长为定值6.所以
R×6=S△DFH,从而救是R的最大值,从而解决问题.
椭圆的标准方程;椭圆的简单性质;三角形五心.
本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质.解答的关键是将点的坐标代入方程,利用待定系数法求解.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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