二次函数f（x）图象的对称轴是直线x=-2且图象在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为22，求f（x）．

题目

二次函数f（x）图象的对称轴是直线x=-2且图象在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为2

2

，求f（x）．

答案

设二次函数为y=ax²+bx+c（a≠0），因为二次函数图象在y轴上的截距为1，所以c=1，
又对称轴是直线x=-2，所以−

b

2a

＝−2    ①
根据二次函数图象被x轴截得的线段长为2

2

，即方程ax²+bx+1=0的两根差的绝对值为2

2

，
所以由根与系数关系得|x₁-x₂|=

(x1+x2)2−4x1x2

＝

(− b a )2− 4 a

=2

2

，
所以

b2

a2

−

4

a

＝8    ②
①②联立解得：a＝

1

2

，b=2，又c=1，
所以函数f（x）=

1

2

x2+2x+1．

分析根据题目给出的二次函数图象在y轴上的截距为1，先求出C的值，然后根据对称轴方程及图象被x轴所截得的线段长列式求出a、b的值，则函数解析式可求．

本题考点：函数解析式的求解及常用方法．

考点点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了数学转化和方程思想，训练了运用根与系数关系求解曲线被直线所截线段长的方法．