如果x的四次方-x³＋mx²-2mx-2能分解.

题目

如果x的四次方-x³＋mx²-2mx-2能分解.
成两个整数系数的二次因式的积,试求m的值,并把这个多项式因式分解.

答案

令 x^4 - x^3 + mx^2 -2mx - 2 = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+(c+a)x^3+(b+d+ac)x^2+(ad+bc)x+bd.
因为分解后的二次因式的系数为整数,
b d= - 2,可分为下列几种情况：
（1）当b =1,d= -2 时 ,
b+ d= -1,
c+ a= -1,c= -1-a,
(ad+bc)/(b+d+ac)=(-2a+c)/(ac-1)=-2m/m=-2,2-2ac=-2a+c,
将c=-1-a代入再整理得：2a^2+5a+3=0,解得a=-3/2(舍去）,或a=-1,c=-1-a=0,
此时,m=b+d+ac=-1,-2m=ad+bc=2,
得m= -1,x^4 - x^3 - x^2 + 2x - 2 = ( x^2 - x + 1 ) ( x^2 - 2 )
(2) 当b=-2,d=1时,同理,但关于a的方程2a^2-2a+a=0无解.
（3） 当b=2,d=-1时,同理,可得方程2a^2+5a=0,解得a=-5/2(舍去）或a=0,c=-1-a=-1,
此时,m=b+d+ac=1,-2m=ad+bc=-2,
得m=1,x^4 - x^3 + x^2 - 2x - 2 = ( x^2 + 2 ) ( x^2 - x - 1 )
（4）当b=-1,d=2时,同理,可得关于a的方程2a^2-a-2=0无整数解.
综上所述,
当m=-1时,x^4 - x^3 + mx^2 -2mx - 2 = x^4 - x^3 - x^2 + 2x - 2 = ( x^2 - x + 1 ) ( x^2 - 2 )；
当m=1时,x^4 - x^3 + mx^2 -2mx - 2 = x^4 - x^3 + x^2 - 2x - 2 = ( x^2 + 2 ) ( x^2 - x - 1 ).
方法：待定系数法