已知一元二次方程a(b-c)x平方+b(c-a)x+c(a-b)=0有2个相等实数根,求证1/a 1/b 1/c 成等差数列.

题目

已知一元二次方程a(b-c)x平方+b(c-a)x+c(a-b)=0有2个相等实数根,求证1/a 1/b 1/c 成等差数列.

答案

因为a(b-c)x^2+b(c-a)x+c(a-b)=0有两个相等的实数根,
所以判别式=b^2(c-a)^2-4a(b-c)c(a-b)=0,
因为b^2(c-a)^2-4a(b-c)c(a-b)
=(a^2-2ac+c^2)b^2-(4a^2bc-4a^2c^2-4ab^2c+4abc^2)
=(a^2-2ac+c^2)b^2+4acb^2-(4a^2c+4ac^2)b+4a^2c^2
=(a^2+2ac+c^2)b^2-4ac(a+c)b+4a^2c^2
=[(a+c)b]^2-2*[(a+c)b]*(2ac)+(2ac)^2
=[(a+c)b-2ac)]^2=0,
所以(a+c)b=2ac,
因为a,b,c均不等于0,
所以两边除以abc,
得(a+c)/(ac)=2/b
即1/a+1/c=2/b,
所以1/a,1/b,1/c成等差数列.