已知函数f(x)=loga(x+1)(a>1),若函数y=g(x)的图像关于函数y=f(x )的图像关于原点对称.是否存在M属于R+,使不等式f(x)+2g(x)>=logaM的解集恰好是【0,1）.

题目

已知函数f(x)=loga(x+1)(a>1),若函数y=g(x)的图像关于函数y=f(x )的图像关于原点对称.是否存在M属于R+,使不等式f(x)+2g(x)>=logaM的解集恰好是【0,1）.若存在,求出M的值：若不存在请说明理由

答案

∵函数y=g(x)的图像关于函数y=f(x )的图像关于原点对称
∴g（x）=-loga（1-x） x＜1
∵f(x)=loga(x+1) x＞-1
f(x)+2g(x)=loga(x+1)-2loga（1-x）≥logaM （-1＜x＜1）
∴loga（（x+1）/（1-x）²）≥logaM
∵a＞1
所以（x+1）/（1-x）²≥M
由题知X≠1
∴（x+1）≥M（1-x）²
展开得Mx²-(2M+1)x+M-1≤0
∵解集x可以=0
将x=0代入得M=1
当M=1时,不等式化成x²-3x≤0
得x∈[0,3] 结合 定义域 （-1＜x＜1）
得x∈[0,1) ∴M=1 可以使不等式f(x)+2g(x)>=logaM的解集恰好是【0,1）.