已知{an}是首项为1,公差为1的等差数列,若数列{bn}满足b1=1,bn+1=bn+2^an

题目

已知{an}是首项为1,公差为1的等差数列,若数列{bn}满足b1=1,bn+1=bn+2^an
求数列｛bn}的通项公式
bn+1=bn+2^an
那个n+1是下标
2^an 是2的an次方

答案

首先不难算出,an=n,这一步就略去了,最简单的等差数列.由bn+1=bn+2^an可知如下：
bn =bn-1+2^an-1
bn-1=bn-2+2^an-2
bn-2=bn-3+2^an-3
……
b2 =b1+2^1
将以上等式两边分别叠加,然后发现很多项就可以消掉了,最终得到如下：
bn=b1+2^1+2^2+2^3+.+2^n-1,由于b1=1,因此bn就是一个首项为1,公比为2的等比数列,一共有n项,用求和公式即可.需要注意的是,虽然最后只加到了2^n-1,但是确实是有n项的,而不是n-1项,因为首项是1,可以看做2^0,这样从0到n-1,一共是n项.