已知抛物线y²=x上存在两点关于直线l：y=k(x-1)+1对称,求实数k的取值范围

题目

已知抛物线y²=x上存在两点关于直线l：y=k(x-1)+1对称,求实数k的取值范围

答案

直线l：y=k(x-1)+1过点（1,1）,该点在抛物线上（k显然不为0）
设抛物线上有这样的两个不同的点A、B,满足条件
设A的坐标为（t1²,t1) B的坐标为（t2²,t2),其中,t1²不等于t2²,
由于两点关于直线l：y=k(x-1)+1对称,则
（t1-t2)/(t1²-t2²)=-1/k,
得k=-(t1+t2)
又有（1-t1)²+(1-t1²)²=(1-t2)²+(1-t2²)²
(根据（1,1）这点到两点的距离相等）
化简得：（t1²+t2²)(t1+t2)-(t1+t2)-2=0
即：-（t1²+t2²)k+k-2=0
t1²+t2²=1-2/k
由于2（t1²+t2²）>（t1+t2)²=k²,
故有1-2/k>k²/2
当k>0时,k＾3-2k+4