已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC． （1）求证：BG=FG； （2）若AD=DC=2，求AB的长．

题目

已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC．
（1）求证：BG=FG；
（2）若AD=DC=2，求AB的长．

答案

（1）证明：连接AG，
∵∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，
∴∠ABC=∠AFE．
在△ABC和△AFE中，

∠ABC＝∠AFE ∠EAF＝∠CAB AC＝AE

∴△ABC≌△AFE（AAS），
∴AB=AF．
在Rt△ABG和Rt△AFG中，

AG＝AG AB＝AF

∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）．
∴BG=FG；
（2）∵AD=DC，DF⊥AC，
∴F为AC中点，
∵AC=AE，
∴AF=

1

2

AC=

1

2

AE．
∴∠E=30°．
∵∠EAD=90°，
∴∠ADE=60°，
∴∠FAD=∠E=30°，
∴AF=

3

．
∴AB=AF=

3

．

（1）由题中可求得AE和AC所在的三角形全等，进而得到BG和FG所在三角形全等的条件；
（2）求得AF长即可求得AB长．利用等腰三角形的三线合一定理可得AF=

1

2

AC=

1

2

AE，进而求得一些角是30°，主要利用AD长，直角三角形勾股定理来求解．

本题考点：直角梯形；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．

考点点评：本题考查直角梯形、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定，知识点多，综合性强．突破此题的关键在于第一问通过两次全等证Rt△ABG≌Rt△AFG，第二问求AB的长应充分利用等腰△ADC的性质得AF=

1

2

AC=

1

2

AE．从而得出∠E=30°．