12个大小形状相同的球,其中一个质量和其他的不同,用一个天平三次称重,找到一个质量不同的球.

题目

12个大小形状相同的球,其中一个质量和其他的不同,用一个天平三次称重,找到一个质量不同的球.
不知道那个球是轻还是重

答案

把12个球分别编上号,并随意分成3组.分别为：
（1、2、3、4）设为①；（5、6、7、8）设为②；（9、10、11、12）设为③.
第一称:把①与②组放在天平两端称.结果有两种情况：一种是平；另一种是不平,不妨假设组①重于组②.
先来看平的情况.则1-8号球全部正常.次品必在组③,即在9-12号球中.
在9-12号球中任选3个,不妨选（9、10、11）设为④,存下12号球：在正常球1-8号球中也任选3个,不妨选（1、2、3）设为⑤.
对④与⑤进行第二次称.结果有三：④＝⑤；④＞⑤；④＜⑤.
如果④＝⑤时,次品是12号球.第三次用12号球与任意一个正常球称,则可立马将12号次品球是偏重、还是偏轻正确判断出来 .
如果④＞⑤时,则次品球必在组④的3个球内,且重于正常球.这时,在9-11号3个球中任选两个（不妨设是9与10号球）,再放到天平上称第三次.这时有三种情况：9＝10；9＞10；9＜10.
当9＝10时,次品必是11号球,它比正常球要重；当9＞10时,则偏重的9号球是次品；当9＜10时,偏重的10号球是次品.
同理可证④＜⑤时的情况.
当不平时有两种情况,即组①＞组②；组①＜组②.
现在来讨论当组①＞组②的情况.即（1、2、3、4）重于（5、6、7、8）.
将组①与组②中的球进行调整,并重新编组：组①中留下3号球,拿出4号球,并把1、2球改放到组②中去,并添入正常球一个,不妨设为9号球；组②中留下7号球,拿出6、8号球,并把5号球改放到组①中去,编成新组：（5、3、9）设为③；（1、2、7）设为④.
现在进行第二称,即把组③和组④放在天平上称.结果有三：
③＝④；③＞④；③＜④.
当③＝④时.则次品球必在拿出去的几个球内,即在4、6、8号3个球内,且知4号球至少重于6号、8号球中的一个.这时用6号球与8号球进行第三次称,结果是6号＝8号；6号＞8号；6号＜8号.当6号＝8号时,则4号球是次品球,且它比正常球要重；当6号＞8号时,则次品是8号球,它比正常球要轻；当6号＜8号时,则次品是6号球,它比正常球要轻.
当③＞④时.说明:变动后的组仍保持着原有组的重轻本质,这是由组内保持不变的球造成的,则次品球必在3号与7号球之间（因为9号球是正常球,1、2号在原组重,到现组轻,5号在原组轻,在现组重,所以1、2、5必是正常球）且知道3号球一定重于7号球.这时进行第三次称：从3、7号球中任选一与正常球称,不妨选3号球与正常球9号称.结果有：3号＝9号；3号＞9号；3号＜9号.当3号＝9号时,则次品是7号球,它比正常球要轻；当3号＞9号时,则次品是3号球,它比正常球要重；当3号＜9号时,又由3号＞7号,则3号与7号均是次品,这不可能,因为与条件中规定的次品只有一个矛盾.
当③＜④时.这是由交换了组别的球造成的,因此,次品球必在1、2、与5号之间,且5号球至少轻于1、2号球中的一个.这时用1、2号球进行第三次称,.结果有：1号＝2号；1号＞2号；1号＜2号.当1号＝2号时,次品是5号它比正常球要轻；当1号＞2号时,这时次品是1号,它比正常球要重；当1号＜2号时,又5号也小于2号,则次品是2号,它比正常球要重.