已知函数f(x)=(1+1/tanx)sin(x)^2 -2sin(x+π/4)*cos(x+π/4)

题目

已知函数f(x)=(1+1/tanx)sin(x)^2 -2sin(x+π/4)*cos(x+π/4)
(1)若tanα=2,求f(α)
(2)若x∈[π/12,π/2],求f(x)的取值范围

答案

先用tanx=sinx/cosx、倍角公式、诱导公式化简原函数：
f（x）=sin²x+sinxcosx-sin[2（x+π/4）]=（1-cos2x）/2+1/2sin2x-sin（2x+π/2）=-3/2cos2x+1/2sin2x+1/2
（1）由万能公式,cos2x=（1-tan²x）/（1+tan²x）,sin2x=2tanx/（1+tan²x）
f（α）=-3/2*（1-2²）/（1+2²）+1/2*2*2/（1+2²）=13/10
（2）为求f（x）范围,再用辅助角公式化简原函数：
f（x）=根号10/2sin（2x-arctan3）+1/2
若x∈[π/12,π/2]：f（x）最大值为（根号10）/2+1/2
f（x）最小值为f（π/12）=-3/2cos（π/6）+1/2sin（π/6）+1/2=-（3根号3）/4+3/4