在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,E,F,G分别为AO,BO,CD中点,AC=2AD 1；求证CF⊥BD 2；证明△EFG是等腰三角形

题目

在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,E,F,G分别为AO,BO,CD中点,AC=2AD 1；求证CF⊥BD 2；证明△EFG是等腰三角形

答案

ABCD是平行四边形,所以O是AC的中点；
所以OC=1/2AC=AD=CB,所以△OCB是等腰三角形；
而F是OB中点,所以CF是等腰三角形的垂线,所以CF⊥OB,即CF⊥BD.
E、F分别是OA、OB中点,所以对于△OAB有EF//AB//CD,而且EF=1/2AB；
而CG=DG=1/2CD=1/2AB,
EF和DG平行且相等,EFGD是平行四边形,EF和CG平行且相等,EFCG也是平行四边形；
所以EG//FC,由上面的证明CF⊥BD,所以EG⊥BD,即EG⊥DF；
而对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
所以EFGD是菱形,所以EF=FG,所以等腰三角形.