设lim(n→∞)na_n 存在,且级数∑(n=1→∞) n(a_n-a_(n-1))收敛,证明：级数∑(n=1→∞)a_n 收敛.

题目

设lim(n→∞)na_n 存在,且级数∑(n=1→∞) n(a_n-a_(n-1))收敛,证明：级数∑(n=1→∞)a_n 收敛.

答案

设级数∑n(an-a(n-1))的前n项和为：σn
设级数∑an的前n项和为：Sn
则：σn=nan-S(n-1)-a0
S(n-1)=nan-σn-a0
limS(n-1)=lim(nan)-limσn-a0 存在
∴级数∑an收敛.