设S={1,2,.9},是在AxA上定义二元关系如下：（a,b）～(c,d)当且仅当a+d=b+c.证明：关系～是等价关

题目

设S={1,2,.9},是在AxA上定义二元关系如下：（a,b）～(c,d)当且仅当a+d=b+c.证明：关系～是等价关

答案

(1)对任意a,b,a+b=a+b,故得(a,b)～(a,b),关系～具有自反性;
(2)如果(a,b)～(c,d),则a+d=b+c,c+b=d+a,故得(c,d)～(a,b),
关系～具有对称性;
(3)如果(a,b)～(c,d),(c,d)～(e,f),则a+d=b+c,c+f=d+e,
故得a+f=b+e,(a,b)～(e,f),关系～具有传递性;
于是关系～是等价关系.